黎曼積分，所說的正常積分、定積分，是黎曼積分首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義，提出者是黎曼。
概念
作爲曲線與座標軸所夾面積的黎曼積分
對於一在區間[a,b]{displaystyle lbrack a,bbrack }上之給定非負函數f(x){displaystyle f(x)}，我們想要確定f(x){displaystyle f(x)}所代表的曲線與X{displaystyle X}座標軸所夾圖形的面積，我們可以將此記爲
黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。同時請注意，如f(x){displaystyle f(x)}取負值，則相應的面積值S{displaystyle S}亦取負值。
一列黎曼和。右上角的數字表示矩形面積總和。這列黎曼和趨於一個定值，記爲此函數的黎曼積分。
定義
區間的分割
一個閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列a=x0=max(xi+1− − -->xi){displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})}，其中0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1{displaystyle 0leq ileq n-1}。
再定義取樣分割。一個閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}的一個取樣分割是指在進行分割a=x0xi+1{displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}}。λ λ -->{displaystyle lambda }的定義同上。
精細化分割：設x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}以及t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}構成了閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}的一個取樣分割，y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}和s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}是另一個分割。如果對於任意0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n{displaystyle 0leq ileq n}，都存在r(i){displaystyle r(i)}使得xi=yr(i){displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}，並存在r(i)≤ ≤ -->j≤ ≤ -->r(i+1){displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)}使得ti=sj{displaystyle t_{i}=s_{j}}，那麼就把分割：y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}、s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}稱作分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更“精細”。
黎曼和
對一個在閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}有定義的實值函數f{displaystyle f}，f{displaystyle f}關於取樣分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的黎曼和定義爲以下和式：
和式中的每一項是子區間長度xi+1− − -->xi{displaystyle x_{i+1}-x_{i}}與在ti{displaystyle t_{i}}處的函數值f(ti){displaystyle f(t_{i})}的乘積。直觀地說，就是以標記點ti{displaystyle t_{i}}到X軸的距離爲高，以分割的子區間爲長的矩形的面積。
黎曼積分
不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。
要使得“越來越‘精細’”有效，需要把λ λ -->{displaystyle lambda }趨於0。如此[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}中的函數值纔會與f(ti){displaystyle f(t_{i})}接近，矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。
嚴格定義如下：S{displaystyle S}是函數f{displaystyle f}在閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼積分，當且僅當對於任意的ϵ ϵ -->>0{displaystyle psilon >0}，都存在δ δ -->>0{displaystyle delta >0}，使得對於任意的取樣分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，只要它的子區間長度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }，就有：
也就是說，對於一個函數f{displaystyle f}，如果在閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數f{displaystyle f}的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼f{displaystyle f}在閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼積分存在，並且定義爲黎曼和的極限，這時候稱函數f{displaystyle f}爲黎曼可積的。
這個定義的缺陷是沒有可操作性，因爲要檢驗所有λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。
另一個定義: S{displaystyle S}是函數f{displaystyle f}在閉區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼積分，當且僅當對於任意的ϵ ϵ -->>0{displaystyle psilon >0}，都存在一個取樣分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，使得對於任何比其“精細”的分割y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} and s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}，都有：
這兩個定義是等價的。如果有一個S{displaystyle S}滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個S{displaystyle S}滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於δ δ -->{displaystyle delta }，於是滿足
其次證明滿足第二個定義的S{displaystyle S}也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}使得它的上達布和與下達布和都與S{displaystyle S}相差不超過ϵ ϵ -->2{displaystyle { rac {psilon }{2}}}。令r{displaystyle r}等於max0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(Mi− − -->mi){displaystyle max _{0leq ileq n-1}(M_{i}-m_{i})}，其中Mi{displaystyle M_{i}}和mi{displaystyle m_{i}}是f{displaystyle f}在[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}上的上確界和下確界。再令δ δ -->{displaystyle delta }是ϵ ϵ -->2rn{displaystyle { rac {psilon }{2rn}}}和min0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(xi+1− − -->xi){displaystyle min _{0leq ileq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於δ δ -->{displaystyle delta }時，f{displaystyle f}關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差ϵ ϵ -->2{displaystyle { rac {psilon }{2}}}，所以和S{displaystyle S}至多相差ϵ ϵ -->{displaystyle psilon }。
由於以上原因，黎曼積分通常被定義爲達布積分(即第二個定義)，因爲達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。
黎曼積分的性質
線性性：黎曼積分是線性變換，也就是說，如果f{displaystyle f}和g{displaystyle g}在區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上黎曼可積，α α -->{displaystyle alpha }和β β -->{displaystyle beta }是常數，則：
由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間[a,b]{displaystyle [a,b]}後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射I:f⟶ ⟶ -->∫ ∫ -->abfdx{displaystyle I:flongrightarrow int _{a}^{b}fdx}是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。
正定性：如果函數f{displaystyle f}在區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上幾乎處處(勒貝格測度意義上)大於等於0，那麼它在[a,b]{displaystyle [a,b]}上的積分也大於等於零。如果f{displaystyle f}在區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上幾乎處處大於等於0，並且它在[a,b]{displaystyle [a,b]}上的積分等於0，那麼f{displaystyle f}幾乎處處爲0。
可加性：如果函數f{displaystyle f}在區間[a,c]{displaystyle [a,c]}和[c,b]{displaystyle [c,b]}上都可積，那麼f{displaystyle f}在區間[a,b]{displaystyle [a,b]}上也可積，並且有
無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。
[a,b]{displaystyle [a,b]}上的實函數f{displaystyle f}是黎曼可積的，當且僅當它是有界和幾乎處處連續的。
如果[a,b]{displaystyle [a,b]}上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。
如果fn{displaystyle {f_{n}}}是[a,b]{displaystyle [a,b]}上的一個一致收斂序列，其極限爲f{displaystyle f}，那麼：
如果一個實函數在區間[a,b],{displaystyle [a,b],}上是單調的，則它是黎曼可積的，因爲其中不連續的點集是可數集。
黎曼積分的推廣
黎曼積分可推廣到值屬於n{displaystyle n}維空間Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}的函數。積分是線性定義的，即如果f=(f1,… … -->,fn){displaystyle mathbf {f} =(f_{1},dots ,f_{n})}，則∫ ∫ -->f=(∫ ∫ -->f1,… … -->,∫ ∫ -->fn){displaystyle int mathbf {f} =(int f_{1},,dots ,int f_{n})}。特別地，由於複數是實數向量空間，故值爲複數的函數也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分(improper integral)一樣。我們可以令
不幸的是，這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。例如，令f(x)=1{displaystyle f(x)=1}若x>0{displaystyle x>0}，f(0)=0{displaystyle f(0)=0}，f(x)=− − -->1{displaystyle f(x)=-1}若x<0{displaystyle x<0}。則對所有x{displaystyle x}
但如果我們將f(x){displaystyle f(x)}向右平移一個單位得到f(x− − -->1){displaystyle f(x-1)}，則對所有x>1{displaystyle x>1}，我們得到
由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：
此時，如果嘗試對上面的f{displaystyle f}積分，我們得到+∞ ∞ -->{displaystyle +infty }，因爲我們先使用了極限b→ → -->∞ ∞ -->{displaystyle bo infty }。如果使用相反的極限順序，我們得到− − -->∞ ∞ -->{displaystyle -infty }。
這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因爲黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令fn(x)=1/n{displaystyle f_{n}(x)=1/n}在[0,n]{displaystyle [0,n]}上，其它域上等於0。對所有n{displaystyle n}，∫ ∫ -->fndx=1{displaystyle int f_{n},dx=1}。但fn{displaystyle f_{n}}一致收斂於0，因此limfn{displaystyle lim f_{n}}的積分是0。因此∫ ∫ -->fdx≠lim∫ ∫ -->fndx{displaystyle int f,dxot =lim int f_{n},dx}。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。
事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分。
擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子xi− − -->xi+1{displaystyle x_{i}-x_{i+1}}，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。
相關條目
不定積分
積分
勒貝格積分
黎曼-斯蒂爾傑斯積分
數值積分
達布積分
參考文獻
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.
