黎曼-斯蒂爾傑斯積分，外文名Riemann-Stieltjes integral。特點是有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的，提出者是斯蒂爾傑斯，性質是黎曼積分的一種推廣。
定義
和黎曼積分一樣，黎曼-斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。
區間的分割
一個閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列 a = x 0 < x 1 < x 2 {displaystyle lambda } 爲這些子區間長度的最大值： λ λ --> = max ( x i + 1 − − --> x i ) {displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})} ，其中 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n − − --> 1 {displaystyle 0leq ileq n-1} 。
再定義取樣分割。一個閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割是指在進行分割 P = { a = x 0 < x 1 t i ≤ ≤ --> x i + 1 {displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}} 。 λ λ --> {displaystyle lambda } 的定義同上。
精細化分割：設 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 以及 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 構成了閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個取樣分割， y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 和 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 是另一個分割。如果對於任意 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n {displaystyle 0leq ileq n} ，都存在 r ( i ) {displaystyle r(i)} 使得 x i = y r ( i ) {displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ，並存在 r ( i ) ≤ ≤ --> j ≤ ≤ --> r ( i + 1 ) {displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)} 使得 t i = s j {displaystyle t_{i}=s_{j}} ，那麼就把分割： y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 稱作分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。(即是說“設 P = { a = x 0 , x 1 , x 2 , … … --> , x n − − --> 1 , x n = b } {displaystyle P={a=x_{0},x_{1},x_{2},ldots ,x_{n-1},x_{n}=b}} 是閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一個分割，若分割 P ′ {displaystyle P'} 是分割 P {displaystyle P} 的一個精細化分割，則 P ⊆ ⊆ --> P ′ {displaystyle Psubseteq P'} ，也就是說，分割 P {displaystyle P} 是分割 P ′ {displaystyle P'} 的子集”)
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更“精細”。
黎曼-斯蒂爾傑斯和
對一個在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 有定義的實值函數 f {displaystyle f} ， g {displaystyle g} 關於取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的黎曼-斯蒂爾傑斯和定義爲以下和式：
和式中的 Δ Δ --> g i {displaystyle Delta g_{i}} 表示 g ( x i ) − − --> g ( x i − − --> 1 ) {displaystyle g(x_{i})-g(x_{i-1})} ，故 ∑ ∑ --> i = 1 n Δ Δ --> g i = g ( b ) − − --> g ( a ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}Delta g_{i}=g(b)-g(a)} 。
黎曼-斯蒂爾傑斯積分
當注意的是。這兩個定義在黎曼-斯蒂爾傑斯積分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。
第一種定義
A {displaystyle A} 是函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分，當且僅當對於任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ，都存在 δ δ --> > 0 {displaystyle delta >0} ，使得對於任意的取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ，只要它的子區間長度最大值 λ λ --> ≤ ≤ --> δ δ --> {displaystyle lambda leq delta } ，就有：
第二種定義
A {displaystyle A} 是函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分，當且僅當對於任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ，都存在一個取樣分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ，使得對於任何比其“精細”的分割 y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} ，都有：
若一個函數 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分存在，且值爲 A {displaystyle A} ，則可寫作 A = ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle A=int _{a}^{b}f(x)dg(x).}
與黎曼積分間的關聯
若g(x) = x時， f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 即爲 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上的黎曼積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx.} ，故從黎曼-斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。
若 g ( x ) {displaystyle g(x)} 可微且其對 x {displaystyle x} 微分後的函數 g ′ ( x ) {displaystyle g'(x)} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 連續，則 f {displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上對函數 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂爾傑斯積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 與黎曼積分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) g ′ ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx.} 相等
參見
黎曼積分
有界變差
