黎曼幾何 ，幾何學術語，是非歐幾何的一種，又叫做“橢圓幾何”，外文名叫做Riemannian geometry，創建時間19世紀中期，應用是在數學工具等。
黎曼幾何古典理論
下面給出部分的黎曼幾何古典理論。
一般理論
高斯-博內定理 ：緊緻二維黎曼流形上高斯曲率的積分等於 2 π π --> χ χ --> ( M ) {displaystyle 2pi chi (M)} 這裏的 χ χ --> ( M ) {displaystyle chi (M)} 記作 M 的歐拉示性數。
納什嵌入定理 (兩個)被稱爲黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間 R .
理論
所有給出的定理中，都將用用空間的局部行爲(通常用曲率假設表述)來推出空間的整體結構的一些信息，包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。
受限截面曲率
1/4-受限 球定理. 若 M 是完備 n -維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制於1和4之間，則 M 同胚於 n -球。
Cheeger's有限定理. 給定常數 C 和 D ，只有有限個(微分同胚的流形算作一個)緊 n -維黎曼流形，其截面曲率 | K | ≤ ≤ --> C {displaystyle |K|leq C} 並且直徑 ≤ ≤ --> D {displaystyle leq D} 。
Gromov的幾乎平坦流形. 存在一個 ϵ ϵ --> n > 0 {displaystyle psilon _{n}>0} 使得如果一個 n -維黎曼流形其度量的截面曲率 | K | ≤ ≤ --> ϵ ϵ --> n {displaystyle |K|leq psilon _{n}} 且直徑 ≤ ≤ --> 1 {displaystyle leq 1} ，則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.
正曲率
正截面曲率
靈魂定理 若 M 是一個不緊的完備正曲率 n -維黎曼流形，則它微分同胚於 R .
Gromov的貝蒂數定理 有一個常數 C=C(n) 使得若 M 是一個由正截面曲率的緊連通 n -維黎曼流形，則它的貝蒂數之和不超過 C .
正裏奇曲率
Myers定理. 若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本羣有限。
分裂定理. 若一個完備的 n -維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線(在任何區間上的距離都極小的測地線)則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備( n -1)-維黎曼流形的直積。
Bishop's不等式. 半徑爲 r 的球在一個有正Ricci曲率的完備 n -維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。
Gromov's緊緻性定理. 所有正Ricci曲率且直徑不超過 D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。
數量曲率
n -維環不存在有正數量曲率的度量。
若一個緊 n -維黎曼流形的單射半徑 ≥ ≥ --> π π --> {displaystyle geq pi } ，則數量曲率的平均值不超過 n ( n -1)。
負曲率
負截面曲率
任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。
若 M 是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本羣的任何可交換子羣同構於整數羣 Z 。
設V 是一 R {displaystyle mathbb {R} } -rank ≥ ≥ --> {displaystyle geq } 2的緊緻不可約局部對稱空間，設V是一截面曲率 K ≤ ≤ --> 0 {displaystyle Kleq 0} 的緊緻 C ∞ ∞ --> {displaystyle C^{infty }} 黎曼流形，若 v o l ( V ) = v o l ( V ∗ ∗ --> ) {displaystyle vol(V)=vol(V^{*})} ，且 π π --> 1 ( V ) = π π --> 1 ( V ∗ ∗ --> ) {displaystyle pi _{1}(V)=pi _{1}(V^{*})} ，則 V {displaystyle V} 與 V ∗ ∗ --> {displaystyle V^{*}} 等距。
負裏奇曲率
任何有負裏奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚羣。
任何光滑流形可以加入有負裏奇曲率的黎曼度量。
參考文獻
Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)
