柯西-黎曼方程，外文名Cauchy-Riemann Equations，簡稱C-R方程，是提供了可微函數在開集中爲全純函數的充要條件的兩個偏微分方程，最早出現在達朗貝爾的著作中。
註釋和其他表述
共形映射
柯西-黎曼方程常常表述爲其他形式。首先，它們可以寫成複數形式：
在此形式中，方程對應於雅可比矩陣結構上有如下形式
其中a=∂ ∂ -->u/∂ ∂ -->x=∂ ∂ -->v/∂ ∂ -->y{displaystyle scriptstyle a=partial u/partial x=partial v/partial y}，b=∂ ∂ -->v/∂ ∂ -->x=− − -->∂ ∂ -->u/∂ ∂ -->y{displaystyle scriptstyle b=partial v/partial x=-partial u/partial y}。該形式的矩陣是複數的矩陣表示。幾何上，這樣的一個矩陣總是一個旋轉和一個縮放的複合，從而是保角(保持角度不變)的。因此，滿足柯西-黎曼方程的有非零導數的函數保持平面曲線的角度不變。也即，柯西-黎曼方程是函數成爲共形映射的條件。
複共軛的獨立性
方程組有時也被寫作一個方程
其中微分算子∂ ∂ -->∂ ∂ -->z¯ ¯ -->{displaystyle { rac {partial }{partial {bar {z}}}}}定義爲
在此形式中，柯西-黎曼方程可以解釋爲f獨立於變量z¯ ¯ -->{displaystyle {bar {z}}}。
復可微性
柯西-黎曼方程是函數的復可微性(或稱全純性)的充要條件(Ahlfors 1953，§1.2)。精確的講，設
爲複數z∈C的函數，則f在點z0的復導數定義爲
如果該極限存在。
若該極限存在，則可以取h→0沿着實軸或者虛軸的極限;它在兩種情況下應該給出同樣的結果。從實軸逼近，得到
而從虛軸逼近有
f沿着兩個軸的導數相同也即
這就是在點z0的柯西-黎曼方程(2)。
反過來，如果f:C → C作爲映射到R上的函數可微，則f復可微當且僅當柯西-黎曼方程成立。
物理解釋
柯西-黎曼方程的一個解釋(Pólya & Szegö 1978)和復變理論無關。設u和v在R的開子集上滿足柯西-黎曼方程，考慮向量場
將其視爲(實)兩個分量的向量。則第二個柯西-黎曼方程(1b)斷言f¯ ¯ -->{displaystyle {bar {f}}}無旋：
第一個柯西-黎曼方程(1a)斷言該向量場無源(或者是零散度)：
分別根據格林定理和散度定理，這樣的場是保守的，而且沒有源，在整個開域上淨流量爲零。(這兩點在柯西積分定理中作爲實部和虛部結合起來。)在流體力學中，這樣的一個場是一個勢流(Chanson 2000)。在靜磁學中，這樣的向量場是在不含電流的平面區域中的靜磁場的模型。在靜電學中，它們提供了不包含電荷的平面區域的電場模型。
其它解釋
柯西-黎曼方程的其他表述有時出現在其他座標系中。若(1a)和(1b)對於連續函數u和v成立，則如下方程也成立
對於任何座標(n(x,y), s(x,y))，如果它們滿足(∇ ∇ -->n,∇ ∇ -->s){displaystyle scriptstyle (abla n,abla s)}正交併且正定向。因此，特別的有，在極座標z=re下，方程組有如下形式
結合成一個f的方程，就有
非齊次方程
非齊次柯西-黎曼方程由兩個未知兩個實變量的函數u(x,y)和v(x,y)的方程組成
對於給定的定義在R的開子集上的函數α(x,y)和β(x,y)。這些方程經常合併爲一個方程。
其中f=u+iv，φ=(α+iβ)/2。
若φ是Ck的，則在有界區域D中方程顯式可解，只要φ在D的閉包上連續。實際上，按照柯西積分公式，
對於所有ζ∈D成立。
推廣
Goursat定理及其推廣
設f = u+iv爲複函數，作爲函數f : R → R可微。則柯西積分定理(柯西-古爾薩定理)斷言f在開復域Ω上解析當且僅當它在該域上滿足柯西-黎曼方程(Rudin 1966，Theorem 11.2)。特別是，f不需假定爲連續可微(Dieudonné 1969，§9.10, Ex. 1)。
柯西-古爾薩定理的假設可以大幅減弱;f不需可微，只要f=u+iv在Ω上連續且f關於x和y的偏導數在Ω中存在即可，這個結果稱爲Looman–Menchoff定理。
f在整個域Ω上滿足柯西-黎曼方程是要點。可以構造在一點滿足柯西-黎曼方程的連續函數，但它不在該點解析(譬如，f(z) = z/|z|)。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的，(需額外滿足連續性)，下面的例子表明了這一點：(Looman 1923，p.107)
它處處滿足柯西-黎曼方程，但在z=0不連續。
但是，如果一個函數在開集上以弱形式滿足柯西-黎曼方程，則函數解析。更精確的講(Gray & Morris 1978，Theorem 9):
若f(z)在開域Ω⊂C上局部可積，並以弱形式滿足柯西-黎曼方程，則f和Ω上的一個解析函數幾乎處處相等。
多變量的情況
在多復變量的理論中有對柯西-黎曼方程的恰當推廣。他們組成一個偏微分方程的嚴重過約束系統。通常的表述中，d-bar算子
將全純函數消零。這是
的直接推廣 其中
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