克萊因瓶是著名數學家菲立克斯·克萊因 發現的一種“瓶子”，這種瓶子不能不能裝水，因爲它的進口即是出口，沒有內外之分。克萊因瓶是指一種無定向性的平面，出現在現實中的克萊因瓶模型，並不是真正的克萊因瓶。真正的克萊因瓶，以現在的技術還無法制造出來。
一、神奇的克萊因瓶
所謂的克萊因瓶，就是科學家克萊因提出的一種“不可能”設想。克萊因瓶沒有內外之分，無論從什麼地方穿過，都能到達瓶子外面。市面上的克萊因瓶模型，其實並不是真正的克萊因瓶，真正的克萊因瓶是隻有在四維空間中，才能表現出來的一種曲面。
可以說，克萊因瓶是數學家克萊因先生的一種虛構物，以現在的技術根本就製造不出來。克萊因瓶是一個不可定向的拓撲空間，它沒有內外之分，物體從裏面穿到外面，根本就不用接觸表面。所以真正的克萊因瓶是無法裝水的，因爲它沒有“邊”。
克萊因瓶是一種只有在四維空間中，才能真正表現出來的曲面，在四位空間中，瓶子相連接的底部並不穿越瓶壁。而三維空間做出來的瓶子，它的瓶身是相交在一起的。克萊因瓶是一種很奇特的瓶子，它沒有邊，且只有一個面。
克萊因瓶它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面(即環面)。克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。
克萊因瓶是一個在四維空間中，纔可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。
