無理數的發現，引起了第一次數學危機。誘發的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作爲一門精確的科學是否還有可能?宇宙的和諧性是否還存在?第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。
整數是在對於對象的有限整合進行計算的過程中產生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。爲了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。於是，如果定義有理數爲兩個整數的商，那麼由於有理數系包括所有的整數和分數，所以對於進行實際量度是足夠的。
有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作爲單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔爲單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q爲分母的分數，可以用每一單位間隔分爲q等分的點表示。於是，每一個有理數都對應着直線上的一個點。
古代數學家認爲，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應於有理數，這裏距離op等於邊長爲單位長的正方形的對角線。於是就必須發明新的數對應這樣的點，並且因爲這些數不可能是有理數，只好稱它們爲無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要里程碑。
無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對於全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因爲與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由於畢氏學派關於比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都侷限在可通約的量上，這樣，他們的關於相似形的一般理論也失效了。
“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致於有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密，不準外傳。但是人們很快發現不可通約性並不是罕見的現象。泰奧多勒斯指出，面積等於3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，並對每一種情況都單獨予以了證明。隨着時間的推移，無理數的存在逐漸成爲人所共知的事實。
誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作爲一門精確的科學是否還有可能?宇宙的和諧性是否還存在?
在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中，並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。
第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊祟地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的衝擊。於是，幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明纔是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然產物。
